Thèse Contrôles Parcimonieux de Systèmes Distribués en Vue de la Sobriété Énergétique H/F

Doctorat.Gouv.Fr

La plupart des méthodes classiques de contrôle pour les EDP supposent l'accès à des contrôles permanents, distribués ou déployés sur une zone significative du domaine. Dans les applications réelles, ces hypothèses sont souvent irréalistes : les actionneurs sont coûteux, sujets à des pannes, difficilement accessibles, ou limités en nombre pour des raisons structurelles, économiques ou énergétiques. D'autre part, même lorsque des contrôleurs existent, il n'est ni nécessaire ni souhaitable de les activer en permanence.

Ainsi émergent plusieurs questions fondamentales :
Peut-on stabiliser ou contrôler un système décrit par une EDP avec un nombre très réduit d'actionneurs ?
Quelle performance peut-on garantir si les contrôles ne sont activés que sur des intervalles de temps courts ou intermittents ?
Quel est le coût énergétique minimal nécessaire pour atteindre un objectif donné (stabilisation, contrôle exact, réduction d'oscillations) ?
Comment concevoir des feedbacks sobres, adaptés à des infrastructures intelligentes fonctionnant en mode économie d'énergie ?

Ces problématiques sont au coeur des enjeux actuels.
Dans ce cadre, les systèmes d'EDP non linéaires dispersifs (comme les équations de Korteweg-de Vries ou de Kuramoto-Sivashinsky, les équations de réaction-diffusion), ou les EDP sur des réseaux constituent des modèles particulièrement pertinents pour ces problématiques. Ils décrivent des phénomènes qui apparaissent dans de nombreux systèmes réels comme la circulation d'eau dans des canaux ou des réseaux, la diffusion thermique dans un bâtiment intelligent, le transport d'énergie ou de données sur un réseau.

L'objectif global de ce sujet de thèse est donc d'élaborer pour des EDP telles que les équations de Korteweg-de Vries (KdV) et KdV-Kuramoto-Sivashinsky (KdV-KS) ainsi que des systèmes d'EDP couplées, des stratégies de contrôle parcimonieux que ce soit :
-en nombre d'actionneurs (réduire le nombre de contrôles appliqués au système),
-en durée d'activation (contrôles intermittents, switching, duty-cycle),
- ou en régularité temporelle (feedbacks non permanents, mesures et actions rares, échantillonnage).

Il est bien connu que l'introduction d'un retard en temps, même petit, dans un mécanisme de rétroaction, peut déstabiliser un système stable. Ce retard peut être dû par exemple à un décalage de mesure ou à un délai de transmission. Il faut donc proposer des stratégies pour rendre de nouveau le système stable, soit en ayant également un feedback classique assez grand pour absorber ce terme retardé (voir [1,9,10]), soit en voyant ce terme avec retard comme une (petite) perturbation (voir [12]). Ce retard dans le mécanisme de rétroaction peut également être intermittent ou à commutation, c'est-à-dire être actif sur un intervalle de temps, puis ne plus l'être sur l'intervalle de temps suivant. La taille de l'intervalle où le retard est actif joue alors un rôle sur la stabilité ou non du système (voir par exemple [5,8,11]).
Réduire le nombre de contrôle est un challenge, par exemple sur les réseaux. En effet, le nombre et le choix du placement des mécanismes de rétroaction va dépendre notamment de la topologie du réseau et des longueurs des branches (voir [3,9,10]). Il existe peu de résultats concernant le cas où les contrôles sont à commutation sur les réseaux, c'est-à-dire quand ils s'allument ou s'éteignent au sommet du graphe (voir [4] pour l'équation des ondes). A notre connaissance, il n'y a actuellement pas de résultat concernant les équations de KdV ou KdV-KS.
Les contrôles échantillonnés, c'est-à-dire quand le contrôle est constant dans un intervalle de temps, puis mis à jour, peut être vu comme une forme de retard. Il sera alors moins lourd numériquement de modifier le feedback à certains instants seulement (aussi rarement que possible). Les instants de mise à jour ne sont pas choisis de manière périodique, mais suivront une loi d'échantillonnage construite pour assurer la stabilité du système. Il existe quelques résultats pour des rétroactions internes (voir [6,7]), mais le cas des contrôles au bord reste largement ouvert.
La thèse analysera comment la parcimonie temporelle ou spatiale influence l'observabilité, le temps minimal de contrôle, les taux de décroissance, et la robustesse des feedbacks. Elle développera aussi des cadres nouveaux pour le contrôle d'équations de KdV ou KdV-KS sur des réseaux, avec des conditions de jonction adaptées et des contrôles séquentiels à certains noeuds. Les résultats attendus visent à proposer des stratégies efficaces et énergétiquement sobres, pertinentes pour des systèmes distribués mais également à fournir de nouveaux outils théoriques pour comprendre les limites, les performances et la robustesse du contrôle parcimonieux.
L'objectif principal de cette thèse est de réduire les contrôles en nombre ou en durée d'action pour des problèmes issus de la physique. L'apport théorique attendu sera conséquent et permettra de nouvelles ouvertures en contrôle et stabilisation des équations aux dérivées partielles à la fois du point de vue applicatif et théorique.
Plus précisément, les objectifs sont les suivants:

-O1: étude du contrôle de KdV avec des contrôles intermittents portant à la fois sur les conditions au bord de type Dirichlet et Neumann
-O2: extension de cette étude au cas des réseaux avec des feedbacks à certains sommets du graphe qui s'allument et s'éteignent. Minimiser le nombre de feedbacks actifs.
-O3: étude de la stabilité de l'équation de KdV avec un feedback avec retard intermittent
-O4: peut-on obtenir des résultats de stabilité pour l'équation de KdV-KS avec contrôles intermittents sur un intervalle et sur un réseau, et avec quel modèle?