Thèse Stabilité des Solitons de l'Équation de Schrödinger d'Ordre Élevé en Régime de Masse Surcritique H/F

Doctorat.Gouv.Fr

Établissement : Université de Lorraine École doctorale : IAEM - INFORMATIQUE - AUTOMATIQUE - ELECTRONIQUE - ELECTROTECHNIQUE - MATHEMATIQUES Laboratoire de recherche : IECL - Institut Elie Cartan de Lorraine Direction de la thèse : Frédéric ROBERT ORCID 0000000156106988 Début de la thèse : 2026-09-01 Date limite de candidature : 2026-06-10T23:59:59 A de très hautes énergies, la fusion nucléaire engendre un plasma. Les phénomènes non-linéaires extrêmes qui s'ensuivent peuvent mener à une dissipation de l'énergie et aussi à une instabilité dont les conséquences se passent de commentaire. Or, sous l'effet non-linéaire, des solutions appelées solitons de l'équation de Schrödinger, sont susceptibles de se former, et s'avèrent susceptibles de transporter des paquets d'énergie.

L'objectif de ce projet est l'étude de tels solitons dits irradiants. Les résultats attendus sont d'une part le contrôle des états excités (haute énergie) des solitons en vue de leur stabilité. L'autre conséquence sera la construction des solitons stables qui transporteront des paquets d'énergie afin d'éviter sa dissipation.
Ce projet se situe dans le cadre plus général de descriptions des singularités dans les problèmes elliptiques non-linéaires en lien avec l'anisotropie des plasmas. C'est une thématique sur laquelle l'auteur de ce projet et ses collaborateurs travaillent depuis des années et ont pour cela obtenu une reconnaissance internationale. Le porteur principal a été membre du projet PROMETEUS (Prospect of novel numerical models for electric propulsion and temperature plasmas) porté par F.Deluzet à Toulouse.
L'équation de Schrödinger fait l'objet d'une littérature conséquente depuis des décennies, et c'est sur elle que reposent plusieurs phénomènes physiques, dont les lasers. Cependant, c'est sous les aspects de plasma et de fusion nucléaire que cette équation nous intéresse ici. Lors de la fusion, un plasma se forme à des hautes énergies. Deux points sont alors essentiels : éviter la dispersion de l'énergie d'une part (pour des raisons évidentes d'efficacité) et maintenir stable le plasma (pour des raisons évidentes de sécurité). Les solitons apparaissent alors à plusieurs titres. D'une part, ils sont un moyen de transporter des paquets d'énergie au long du temps, ce qui évite la dissipation. D'autre part, leur formation spontanée a été observée dans des plasmas. L'intérêt pour les versions dites d'ordre supérieur est plus récent. Par ordre supérieur, on entend que le terme d'ordre deux en espace, à savoir le Laplacien, est remplacé par une puissance du Laplacien, à savoir k avec k > 1. Les premières contributions en ce sens datent des travaux de Karpman et Shagalov (1996-2000) [9-11]. L'analyse physique (voir [9]) incite à penser qu'un terme d'ordre quatre en espace (2, donc k = 2) aurait tendance à générer des solitons irradiants et stables. Le traitement mathématique des questions d'explosion, existence en temps long et phénomène de dissipation ont vu une grande avancée avec les travaux de Pausader (2007, [12]). Le développement de l'étude des solitons d'ordre quatre (toujours avec k = 2) a connu un essor certain ces dernières années avec les travaux de Jeanjean et ses collaborateurs (2019-2024 [1-4]).

On parle ici largement des aspects d'analyse mathématique théorique. Il est bien évident que cette analyse doit être validée du point de vue de la fusion nucléaire. Il est alors nécessaire de construire des méthodes numériques et de les valider avec des modèles théoriques, y compris anisotropiques (c'est-à-dire avec des directions imposées) : ces méthodes doivent être stables. C'est ici encore que nos solitons s'avèrent de bons candidats : si eux-mêmes sont stables, il y a des chances que les méthodes numériques reposant dessus le soient aussi.

Mathématiquement, le passage des problèmes d'ordre deux (, avec k = 1) aux problèmes d'ordre supérieurs (k, k > 1) est bien souvent soit trivial (les méthodes s'adaptent sans difficulté), soit extrêmement difficile. Conceptuellement, dès qu'on passe aux ordres supérieurs, les espaces d'énergie naturels ne sont plus stables par les transformations classiques. Cette difficulté dans l'analyse a été réglée par la méthodologie introduite par l'auteur dans (Robert 2025, [13-14]), et s'avère être le bon point de vue pour les problèmes non-linéaires généraux : ceci sera développé plus largement dans le projet de thèse ci-après afin de décrire les états excités ou non.

La construction théorique d'états stables ou instables fait l'objet d'une méthodologie robuste qui est pratiquée dans des contextes variés par les deux porteurs de ce projet (Robert-Vétois 2014, 2023 [15,16]). Quant à l'implémentation numérique de modèles de plasmas en présence de champ magnétiques, une nouvelle méthode a été développée par l'auteur et ses collaborateurs (Deluzet-Latocha-Robert 2025, [9]).