Thèse Discrétisation par Méthode Ddfv pour la Décomposition de Helmholtz-Hodge sur une Surface Fermée sans Bord de R^3 et ses Applications en Éléctromagnétisme H/F

Doctorat.Gouv.Fr

Établissement : Université Paris-Saclay GS Mathématiques
École doctorale : Mathématiques Hadamard
Laboratoire de recherche : Centre Borelli
Direction de la thèse : François ALOUGES ORCID 0000000328991427
Début de la thèse : 2026-10-01
Date limite de candidature : 2026-08-01T23:59:59

Ce projet de thèse porte sur l'étude de méthodes de discrétisation pour la décomposition de Helmholtz-Hodge dans le cas d'une surface fermée de R^3 sans bord et leur application potentielle en électromagnétisme pour l'EFIE (Electric Field Integration Equation). On se propose d'adapter des méthodes volumes finis à grilles décalées de type Discrete Duality Finite Volume (DDFV) ayant déjà été employées dans le cas de domaines à bord dans R^2. Cette adaptation nécessite de résoudre des difficultés posées par la géométrie du problème et qui affectent tant l'implémentation numérique des méthodes que l'étude théorique des schémas. Les propriétés intrinsèques des opérateurs DDFV, que ce soit en terme d'identités vérifiées au niveau discret ou bien de dimension des espaces présentent un intérêt notamment dans les méthodes de préconditionnement utilisées en EFIE.

L'identité de Calderon fournit un moyen élégant de trouver une paramétrix de l'opérateur intégral intervenant dans l'EFIE (Electric Field Integral Equation). Malheureusement, cette identité ne passe pas bien au niveau discret et les tentatives pour l'utiliser se heurtent au développement de nouveaux éléments finis (dits de Buffa-Christiansen) difficiles à mettre en oeuvre. Un des enjeux de la thèse est de proposer une méthodologie plus efficace et naturelle via la méthode de volumes finis appelée DDFV.

Le but principal de la thèse est de développer une théorie de l'approximation des champs de vecteurs tangents sur des surfaces ji permette une discrétisation des équations de l'électromagnétisme, et en particulier de l'EFIE. Un des enjeux principaux étant de trouver un moyen d'utiliser au niveau discret l'identité de Calderon.

Le doctorant devra se familiariser avec la méthode DDFV, puis généraliser cette approche sur des surfaces discrètes (triangulées) de R^3. L'accent sera mis sur la préservation des identités concernant les opérateurs différentiels. Une théorie de la discrétisation doit permettre de satisfaire la décomposition de Hodge-de Rham au niveau discret. Ensuite, l'application à l'électromagnétisme (et en particulier les équations intégrales) sera considérée.