Thèse Vortex Anyoniques et leur Dynamique dans des Théories de Champs Bidimensionnelles H/F

Doctorat.Gouv.Fr

Établissement : Université de Tours École doctorale : Mathématiques, Informatique, Physique Théorique et Ingénierie des Systèmes - MIPTIS Laboratoire de recherche : IDP - Institut Denis Poisson Direction de la thèse : JULIEN GARAUD ORCID 0000000150873115 Début de la thèse : 2026-10-01 Date limite de candidature : 2026-06-30T23:59:59 Dans les théories des champs bidimensionnelles, les anyons sont des quasi-particules dont la statistique d'échange interpole continûment entre celles des fermions et des bosons. Cela reflète la structure topologique de l'espace de configuration en dimension réduite. Les anyons jouent un rôle central dans l'effet Hall quantique fractionnaire et, plus généralement, dans les phases topologiques de la matière quantique. Ce projet vise à étudier l'émergence de statistiques fractionnaires dans les théories de jauge continues à travers l'étude des solutions de type vortex dans les modèles de Maxwell-Chern-Simons-Schrödinger.

Dans ce cadre, un champ scalaire complexe non relativiste est couplé à deux champs de jauge abéliens aux dynamiques distinctes: un champ de Maxwell qui décrit les interactions électromagnétiques et un champ de Chern-Simons qui encode l'attachement du flux statistique. L'interaction entre ces champs engendre une structure variationnelle contrainte, où les contraintes de jauge locales (lois de Gauss) et les quantités conservées globales (nombre de particules, flux, moment angulaire) spécifient les configurations admissibles. L'objectif est de comprendre comment ces structures mènent à des solutions de type vortex qui portent des charges et des moments cinétiques fractionnaires, offrant ainsi une réalisation théorique des excitations anyoniques.

Le projet combine des approches analytiques et numériques. Les configurations de vortex seront d'abord analysées dans la limite de London, permettant des descriptions asymptotiques contrôlées et l'identification des charges topologiques. Ces résultats serviront de base à des simulations des problèmes d'optimisation sous contraintes, en imposant les contraintes locales et globales, formulés dans le langage méthodes d'éléments finis. Cette approche implique la construction et la caractérisation systématiques de solutions de vortex stationnaires dans cette théorie de jauge non linéaires.

À partir de configurations statiques précédement analysées, le projet abordera la dynamique des vortex et leur évolution adiabatique. En particulier, il s'agira d'étudier comment l'échange de vortex induit des phases géométriques dans la fonction d'onde. Ceci devrait établir un lien direct entre l'évolution dynamique et les statistiques fractionnaires. Dans ce cadre, il faudra également étudier les interactions multi-vortex et les effets collectifs.

Ce travail vise donc à établir un cadre cohérent pour l'étude des anyons dans les théories des champs, en combinant l'analyse variationnelle avec dles simulations numériques d'équations aux dérivées partielles non linéaires. Ce projet est à l'interface de la physique mathématique, de la topologie et des systèmes quantiques fortement corrélés. Il présente un intérêt potentiel pour les réalisations en physique de la matière condensée et les plateformes quantiques synthétiques. À deux dimensions, la structure topologique des échanges de particules permet l'existence de statistiques quantiques généralisées, dites fractionnaires. Les excitations associées nomées anyons jouent un rôle central dans l'effet Hall quantique fractionnaire et, plus largement, dans les phases topologiques de la matière. Leur description effective repose sur des théories des champs incluant des termes de Chern-Simons, qui permettent d'encoder l'attachement de flux et les propriétés statistiques. Dans ce cadre, les vortex apparaissent comme des défauts topologiques naturels portant des charges fractionnaires, fournissant une réalisation continue des anyons dans des modèles de champs. Ce projet vise à étudier l'émergence de statistiques fractionnaires dans des théories de champs de jauge en dimension deux, à travers l'analyse de solutions vortex dans des modèles de type Maxwell-Chern-Simons-Schrödinger. Les objectifs principaux sont :
- caractériser des excitations vortex portant charge et moment angulaire fractionnaires ;
- analyser le rôle des contraintes de jauge et des quantités conservées dans la structure des solutions ;
- établir un cadre analytique et numérique pour la construction de ces configurations ;
- étudier la dynamique des vortex et les phases géométriques associées aux processus d'échange Le projet repose sur une approche combinant analyse théorique et simulation numérique. Le cadre considéré est celui d'un champ scalaire complexe non relativiste couplé à deux champs de jauge abéliens, l'un de type Maxwell et l'autre de type Chern-Simons.

Pour les aspects simulations numériques, il faudra se baser sur le formalisme des méthodes d'éléments finis conjointement à des méthodes d'optimisation contrainte (Augmented Lagrangian Method).