Thèse Simulation et Inférence pour les Réseaux Biologiques de Neurones Décrits par des Diffusions Stochastiques Conditionnellement Linéaires H/F

Doctorat.Gouv.Fr

Établissement : Université Grenoble Alpes École doctorale : MSTII - Mathématiques, Sciences et technologies de l'information, Informatique Laboratoire de recherche : Laboratoire Jean Kuntzmann Direction de la thèse : Pierre ETORE ORCID 0000000264432879 Début de la thèse : 2026-10-01 Date limite de candidature : 2026-06-09T23:59:59 La modélisation mathématique de l'activité électrique des neurones se situe à la croisée des neurosciences, de la théorie des probabilités et de la statistique. Les modèles de Hodgkin-Huxley, introduits dans les années 1950 pour décrire la propagation du potentiel d'action dans l'axone géant du calmar, demeurent une référence incontournable. Leur formulation stochastique - obtenue en ajoutant un bruit brownien aux équations différentielles ordinaires d'origine - conduit à des équations différentielles stochastiques (EDS) qui rendent compte des fluctuations intrinsèques des canaux ioniques et de l'environnement cellulaire. Une compréhension approfondie de ces modèles est indispensable pour l'analyse des données d'électrophysiologie ainsi que pour la conception d'interfaces neurales ou de stimulateurs cérébraux.
Le point de départ du projet est un système d'EDS de type Hodgkin-Huxley dont la première équation régit le potentiel de membrane V, soumis à des termes de courant ionique dépendant des variables de grille U et perturbé par un bruit brownien additif d'intensité . La seconde équation est une équation différentielle ordinaire aléatoire gouvernant les variables de grille U (activation et inactivation des canaux ioniques), dont les taux d'ouverture et de fermeture et , dépendant du voltage, sont des fonctions non linéaires de V. Ce système couple une véritable EDS à une équation différentielle ordinaire aléatoire, ce qui requiert des outils analytiques et numériques spécialisés (cf. Réf. 3 de la bibliographie).
Pour modéliser un réseau biologique de N neurones en interaction, le système à un seul neurone est étendu à un système couplé de N EDS, chacune dirigée par des mouvements browniens indépendants et complétée par un terme d'interaction de champ moyen faisant intervenir un noyau synaptique K. Lorsque N , sous des hypothèses appropriées, ce système converge vers une limite de champ moyen, phénomène connu sous le nom de propagation du chaos (cf. Réf. 1 de la bibliographie). L'étude théorique et numérique de cette limite constitue un axe central de la thèse.
Dans ce projet de doctorat, les aspects numériques et statistiques sont traités conjointement. Du côté de la simulation, l'accent est mis sur la conception et l'analyse de schémas adaptés au système, ainsi que sur la simulation efficace du réseau via des algorithmes parallèles et des méthodes de particules en interaction. Du côté statistique, l'objectif est d'estimer les paramètres du modèle à partir d'observations discrètes du potentiel de membrane, en recourant à des méthodes de maximum de vraisemblance par contraste, aux moindres carrés ou à des approches bayésiennes, et d'établir la consistance, la normalité asymptotique ainsi que les bornes de Cramér-Rao. Toutes les méthodes seront validées sur des données simulées et, dans la mesure du possible, sur des données expérimentales d'électrophysiologie. Anna Melnykova et Pierre Etoré ont déjà entamé une collaboration sur le sujet de le thèse: les modèles de diffusion hypoelliptique en neurosciences, le développement de schémas numériques et de méthodes statistiques associés.

Mais il s'agissait de modèles à un seul neurone. Il s'agirait d'étendre l'étude à des réseaux de neurones biologiques et à de se pencher sur les problèmes d'inférence. Développement de schémas numériques probabilistes et de méthodes d'inférence pour les modèles de réseaux de neurones biologiques.

Production d'articles scientifiques dans des revues internationales à comité de lecture et de packages R. Cf PDF despcriptif du projet.