Thèse Stabilisation d'Equations d'Ondes Hyperelasticite et Mode Glissant en Dimension Infinie H/F

Doctorat.Gouv.Fr

Établissement : Université Paris-Saclay GS Sciences de l'ingénierie et des systèmes École doctorale : Sciences et Technologies de l'Information et de la Communication Laboratoire de recherche : Laboratoire des Signaux et Systèmes Direction de la thèse : Yacine CHITOUR ORCID 0000000347906777 Début de la thèse : 2026-10-01 Date limite de candidature : 2026-04-30T23:59:59 Cette thèse \'etudie la stabilisation de certaines équations d'ondes non-linéaires en dimension infinie. L'accent est mis d'une part sur des syst\`emes traitant de l'hyperélasticité (non-linéarité géométrique) et d'autre part sur des systèmes à modes glissants (non-linéarité non-lisse). Pour ces systèmes, l'énergie physique ne définit pas une norme quadratique sur l'espace d'état usuel $H^1 \times L^2$. L'objectif premier est de prouver l'\'eventuelle existence (et unicité si possible) de solutions faibles et fortes avant toute analyse de stabilité, car les théories de Lyapunov sont inopérantes sans solutions fortes bien définies. Dans un deuxi\`eme temps, il s;agira de d\'eterminer la vitesse de d\'ecroissance des solutions vers les points d'\'equilibre. La littérature distingue habituellement les équations quasi-linéaires (hyperélasticité) des systèmes à commande discontinue (modes glissants). Pourtant, ils partagent un obstacle fonctionnel commun : l'inapplicabilité directe des théorèmes standards d'opérateurs monotones dans l'espace d'état naturel. Hyperélasticité: Pour les cordes et membranes à grandes déformations, l'énergie potentielle est $\int \sqrt{1+ \nabla u ^2} dx$, ce qui induit une \'energie physique non quadratique. Les r\'esultats d'existence concernent surtout le cas 1D (pour l'inconnue $u$) et le cas nD lui est encore ouvert, tout au moins pour des conditions aux limites dynamiques (Wentzell). L'opérateur d'onde devient quasi-linéaire. En 1D, la stabilisation avec conditions aux limites dynamiques (Wentzell) reste à etre rendu rigoureux hors du cadre linéaire
Modes Glissants: Le contrôle robuste introduit des termes $\operatorname{sign}(u)$ et $\operatorname{sign}(u_t)$ \cite{Orlov2009}. Une erreur fréquente est de supposer que le potentiel $\Phi(u) = \int u dx$ permet l'application directe de la théorie de Brezis-Barbu. Bien que $\Phi$ soit convexe, l'opérateur dynamique associé dans l'espace d'état $H^1 \times L^2$, défini par $(u, v) \mapsto (0, \operatorname{sign}(u))$, \textbf{n'est pas monotone} pour le produit scalaire d'énergie. Seul le terme d'amortissement $\operatorname{sign}(u_t)$ est monotone. Les preuves d'existence actuelles (Orlov) négligent cette distinction, supposant une convergence des solutions régularisées non démontrée dans le cadre hyperbolique du second ordre.
Contributions Attendues: (1) Preuve de caract\`ere bien-posé (existence et unicité) pour l'équation des ondes hyperélastique 1D avec conditions aux limites dynamiques; (2) Clarification mathématique : démonstration que l'opérateur $\operatorname{sign}(u)$ n'est pas monotone dans l'espace d'état $H^1 \times L^2$, invalidant l'application directe de Brezis-Barbu sans décomposition; (3) Correction des preuves d'existence des modes glissants en dimension infinie (séparation conservative/dissipative); (4) Fonctionnelles de Lyapunov intrinsèques pour la stabilité exponentielle (hyperélasticité) et en temps fini (modes glissants). excellents encadrants, joli sujet resoudre des questions delicates s'assoir et reflechir