Thèse Régularisation et Sélection par un Bruit Fractionnaire dans le Régime d'Existence - Unicité Faible H/F

Doctorat.Gouv.Fr

Établissement : Université Paris-Saclay GS Mathématiques École doctorale : Mathématiques Hadamard Laboratoire de recherche : FDM - Fédération de Mathématiques - FR CNRS 3487 Direction de la thèse : Alexandre RICHARD ORCID 0000000178286959 Début de la thèse : 2026-09-01 Date limite de candidature : 2026-04-24T23:59:59 Les équations différentielles stochastiques (EDS) dirigées par un mouvement brownien fractionnaire jouent un rôle important en analyse stochastique, leur étude étant motivée notamment par la mécanique des fluides et la modélisation de la turbulence, voir par exemple le travail fondateur de Kolmogorov [8]. L'étudiant s'intéressera à l'équation différentielle stochastique \[ \dd X_t = b(t,X_t) \dd t + \sigma \dd B^H_t, t\geq 0, \] où $B^H$ est un mouvement brownien fractionnaire de paramètre de Hurst $H \in (0,1)$. Les progrès récents sur l'étude de cette EDS ont permis de mettre en évidence un régime d'existence et unicité forte sous des conditions reliant $H$ et la régularité de $b$, voir [4], ainsi que des conditions plus faibles sous lesquelles l'unicité est uniquement en loi [2]. Dans ce cadre, le projet de thèse proposé visera à aborder deux thèmes de recherche liés, la limite petit bruit et les propriétés des solutions de l'EDS. En particulier, concernant le premier thème, l'étudiant travaillera sur le taux de concentration dans la limite petit bruit, la caractérisation de la mesure limite, et éventuellement sur des problèmes de dimension supérieure. Sur le second thème, l'étudiant cherchera à déterminer certaines propriétés de la loi de l'EDS étudiée, dans son régime d'unicité faible. Des questions d'approximation numérique de cette loi seront abordées. Contrairement au cas markovien classique $H = 1/2$, la dépendance temporelle introduite par le bruit fractionnaire dans l'EDS modifie profondément les propriétés probabilistes de l'équation. Un phénomène marquant, mis en évidence dès les années 70, est celui de la régularisation par le bruit, selon lequel l'ajout d'un bruit suffisamment irrégulier peut restaurer l'unicité des solutions, même en présence d'un champ de dérive $b$ singulier. Voir par exemple [3] pour de nombreux exemples et applications, notamment en lien avec la mécanique des fluides. Dans le cas $H\neq 1/2$, malgré la perte de propriété de Markov et du lien avec les outils EDP, on sait désormais que pour des $H$ suffisamment petits, le brownien fractionnaire peut régulariser l'EDS considérée, davantage qu'un mouvement brownien standard. Ce cas non-Markovien a fait l'objet de nombreuses études ces dernières années, en se basant en particulier sur les techniques développées autour du lemme de couture stochastique [9]. Des avancées récentes ont notamment permis de caractériser des régimes d'unicité forte sous des conditions fines sur la dérive [4], ainsi que des résultats d'unicité faible [2]. Dans cette même logique de régulariser des EDO, un axe d'étude naturel concerne la limite de petit bruit, où l'on s'intéresse au comportement asymptotique des solutions lorsque $\sigma \to 0$. L'étude de la limite petit bruit constitue un outil fondamental pour comprendre les mécanismes de sélection de solutions dans les équations déterministes mal posées. En présence d'une non-unicité au niveau déterministe, l'ajout d'un bruit de petite amplitude peut sélectionner une solution particulière lorsque le bruit tend vers zéro. Voir notamment le résultat récent [5] mettant en évidence de tels phénomènes pour certaines classes d'EDS. L'objectif de cette thèse est d'obtenir de nouveaux résultats dans ce domaine fascinant et très actif qu'est la régularisation/sélection par le bruit. Plus spécifiquement, tout ou partie des questions suivantes pourront être abordées. Limite zéro bruit ($\sigma\to 0$) : - taux de concentration dans la limite $\sigma\to 0$ : dans le cas markovien, un phénomène intéressant a été découvert dans [6], à savoir que le taux de grande déviation est différent de celui de Freidlin-Wentzell. Nous avons l'intention d'étendre cela au cas fractionnaire. Cela nécessitera de développer des outils sur le comportement à long terme pour des systèmes fractionnaires (spécifiques) qui pourraient présenter un intérêt indépendant. - caractérisation de la mesure limite : dans le cas brownien (et scalaire) on peut la calculer explicitement, dans le cas fractionnaire il n'existe pas de méthode connue pour les calculer. Nous commencerons par étudier les régimes asymptotiques (lorsque la singularité de la dérive est proche de la valeur critique donnée par le paramètre de Hurst). - problèmes de dimension supérieure : on commencera par le cas de systèmes avec symétries (dans le cas brownien, cela se réduit trivialement au cas scalaire, mais ce n'est pas le cas dans le cas fractionnaire, faute de formule d'Itô). On pourra également s'intéresser au cas d'évolutions comportant un principe du maximum (qui sont formellement proches des EDS scalaires), comme le mouvement par courbure moyenne. Propriétés et approximation de la loi de l'EDS: - Propriétés de la loi de l'EDS: dans le régime fort, on sait désormais que la loi de la solution de \eqref{eq:EDS} admet une densité ayant une certaine régularité et des bornes gaussiennes, cf [1]. Les questions suivantes se posent naturellement: Comment étendre ces résultats dans le régime faible? Dans le cas markovien, il est connu que la loi du processus au temps $t>0$ est au moins aussi régulière que la loi de $X_0$, par un phénomène de régularisation parabolique. Il est montré dans [1] que l'intégrabilité de la loi de $X_0$ se propage en tout $t$. Peut-on montrer que la loi de $X_t$ hérite de davantage de régularité? - Approximation numérique de l'EDS et obtention d'un ordre de convergence faible meilleur que l'ordre fort connu. On pourra procéder par étape: Dans le régime faible de [2], montrer la convergence en loi du schéma d'Euler vers la loi de l'EDS. Dans le régime fort (et possiblement ensuite dans le régime faible), on cherchera à obtenir un taux sur l'erreur faible entre le schéma d'Euler et la solution de l'EDS. Plusieurs approches seront envisagées: une approche par couplage suivant l'idée de Butkovsky et Mytnik [2]; une approche à la Hu-Liu-Nualart [7] exploitant l'intégration par parties du calcul de Malliavin. Voir pdf joint.