Thèse Jeux à Champ Moyen avec Contraintes d'État et Dynamiques Comportant des Sauts Théorie et Approximation Numérique H/F

Doctorat.Gouv.Fr

Établissement : Université de Limoges École doctorale : Sciences et Ingénierie Laboratoire de recherche : XLIM Direction de la thèse : Francisco SILVA Début de la thèse : 2026-10-01 Date limite de candidature : 2026-06-08T23:59:59 La thèse proposée à XLIM porte sur l'étude théorique et numérique des jeux à champ moyen avec contraintes d'état, dans des situations où la dynamique des agents peut également comporter des sauts. La théorie des jeux à champ moyen, introduite par Lasry et Lions, vise à décrire la limite d'équilibres de Nash lorsque le nombre de joueurs devient infini. Dans ce cadre, les équilibres peuvent être caractérisés par un système couplé d'équations aux dérivées partielles de type Hamilton-Jacobi-Bellman et Fokker-Planck.

Si l'approximation numérique de ces équilibres a déjà été étudiée dans le cas sans contraintes, plusieurs applications importantes, notamment en économie mathématique et en dynamique de foules, nécessitent de prendre en compte des contraintes d'état. Par ailleurs, des travaux récents ont aussi mis en évidence l'intérêt de considérer des dynamiques avec sauts. Le projet de thèse vise ainsi à développer un cadre mathématique adapté à cette situation plus générale.

Sur le plan théorique, il s'agira d'étudier l'existence, l'unicité et la régularité des équilibres. Sur le plan numérique, l'objectif sera de concevoir une approximation pertinente du problème de contrôle sous-jacent, puis de proposer et d'analyser des schémas convergents fondés sur des jeux à temps et états finis. Ces résultats seront ensuite appliqués à des situations concrètes, comme la modélisation des déplacements résidentiels d'une population dans une ville.

Le sujet se situe au coeur des thématiques de recherche des encadrants Annette Dumas et Francisco Silva. Il permettra de structurer une dynamique durable au sein de l'équipe MOD autour des jeux à champ moyen, de leurs extensions avec contraintes et sauts, et de leur approximation numérique. Le projet bénéficie en outre de la présence d'un excellent candidat potentiel, actuellement en stage CASI à XLIM, disposant d'une solide formation en analyse et en contrôle optimal. La théorie des jeux à champ moyen, introduite par J.-M. Lasry et P.-L. Lions en 2007, décrit la limite des équilibres de Nash lorsque le nombre de joueurs tend vers l'infini. Un résultat majeur est que ces équilibres peuvent être caractérisés par un système couplé de deux EDP : une équation de Hamilton-Jacobi-Bellman pour la fonction valeur d'un joueur typique, et une équation de Fokker-Planck pour l'évolution de la distribution des joueurs.

L'approximation numérique de ces équilibres revient donc à approximer ce système. Des travaux antérieurs ont étudié cette question sans contraintes d'état. Or, dans plusieurs applications, notamment en économie et en dynamique de foules, les joueurs doivent rester dans un domaine donné. Dans ce cadre, l'existence d'équilibres a été établie récemment. De plus, des dynamiques avec sauts ont été étudiées dans la thèse d'Annette Dumas, ouvrant des perspectives nouvelles sur les plans théorique et numérique. - Introduction d'une nouvelle classe de jeux à champ moyen déterministes.
- Étude de l'existence des équilibres de Nash.
- Approximation numérique avec des garanties de convergence.
- Application à la dynamique de logements dans une ville. - Nous proposerons d'abord une formulation trajectorielle (dite lagrangienne) des équilibres du nouveau modèle.
- L'existence d'équilibres sera étudiée à l'aide de techniques issues du contrôle optimal et du transport optimal.
- Les équilibres seront approchés par ceux de jeux à champ moyen analogues, mais en temps et en états finis, qui pourront être calculés numériquement à l'aide de méthodes classiques de théorie des jeux, telles que la méthode de la partie fictive.