Thèse Vers le Problème de la Localité pour les Représentations Mod P de GlK K Corps P-Adique H/F

Doctorat_Gouv

Établissement : Université Paris-Saclay GS Mathématiques
École doctorale : Mathématiques Hadamard
Laboratoire de recherche : Laboratoire de Mathématiques d'Orsay
Direction de la thèse : Christophe BREUIL ORCID 000900085309959X
Début de la thèse : 2026-10-01
Date limite de candidature : 2026-04-23T23:59:59

Soit K une extension non ramifiée du corps des nombres p-adiques Qp, F un corps de nombres totalement réel tel que K est une complétion p-adique de F, et r une représentation irréductible de Gal(F/F) en caractéristique p associée à une forme propre de Hilbert. La représentation lisse (r) de GL(K) portée par le sous-espace isotypique r du H¹ modulo p des tours de courbes de Shimura reste mystérieuse lorsque K n'est pas Qp. Sous une généricité convenable, (r) détermine la restriction de r au sous-groupe de décomposition Gal(K/K) de Gal(F/F). Cependant, lorsque K n'est pas Qp, on ignore si (r) ne dépend que de . Cette question (la localité) est importante mais extrêmement difficile.

Lorsque [K:Qp]=2, Florian Herzig et moi-même (avec plusieurs coauteurs) avons récemment défini une représentation lisse du Borel supérieur B(K) de GL(K) ne dépendant que de , qui pourrait être une candidate pour la restriction de (r) à B(K). Notre démonstration utilise divers (,)-modules associés à ainsi que de la géométrie perfectoïde non triviale. L'objectif de cette thèse est d'étendre notre construction à [K:Qp]>2.

Voir le PDF ci-joint pour plus de détails.

Le contexte scientifique est celui du programme de Langlands en caractéristique p, qui est à la fois très actif mais où les progrès sont lents en dehors du groupe GL(Qp). Des progrès ont eu lieu ces dernières années pour le groupe GL(K), K extension non ramifiée de Qp. Mais il reste encore une question fondamentale où il n'y a pas d'exemple connu en dehors de GL(Qp) : est-ce que les représentations lisses de GL(K) construites dans la cohomologie mod p ne dépendent que de la représentation de Gal(K/K) sous-jacente et non du contexte global ?

Construire à partir du (,)-module multivariable perfectoïde associé à une représentation mod p de dimension 2 de Gal(K/K) (où K est une extension finie non ramifiée de Qp) une représentation lisse de dimension infinie du Borel de GL(K) qui généralise lorsque [K:Qp]>2 la construction du cas [K:Qp]=2.