Thèse Régularisation et Comportement en Temps Long de Semi-Groupe de Diffusion Hypoelliptiques H/F

Université de Bordeaux

Établissement : Université de Bordeaux
École doctorale : Mathématiques et Informatique
Laboratoire de recherche : IMB - Institut de Mathématiques de Bordeaux
Direction de la thèse : Michel BONNEFONT ORCID 0009000135022598
Début de la thèse : 2026-10-01
Date limite de candidature : 2026-05-04T23:59:59

Le but de ce travail de thèse est d'étudier le comportement en temps long et principalement la régularisation du semi groupe pour certaines diffusions dégénérées hypoelliptiques. On sera particulièrement intéressé par le cas mouvement du Brownien cinétique sur une variété Riemannienne ainsi que par des processus de type Fokker-Planck cinétiques plus classiques.
Le mouvement Brownien cinétique est un processus (position, vitesse) où la vitesse est toujours de norme 1 et est donnée par un mouvement Brownien dans le fibré tangent des vecteurs de normes 1. Il est notamment intéressant car il interpole entre le flot géodésique et le vrai mouvement Brownien dans la variété. Sa position peut également être vue comme une intégrale non linéaire d'un processus de diffusion classique.

De manière générale, l'étude du comportement en temps long de processus de diffusion ou de processus de Marokv généraux est un sujet d'étude important.
Il est souvent fondamental de déterminer et de quantifier sa convergence vers l'équilibre (losqu' il admet une mesure de probabilité invairante) ainsi que d'étudier ses propriétés de régularisation: estimées du gradient du semi-groupe ainsi que des formules du type Bismut-Li-Elworthy de représentation du gradient du semi-groupe.

Plusieurs approches sont possibles: une approche analytique et une approche probabiliste avec l'étude directe de couplage des processus stochastiques ou du calcul du Malliavin.
L'approche analytique est basée sur l'obtention d'inégalités fonctionnelles de type Poincaré ou de log-Sobolev ou de type Poincaré inverse.

Dans le cas elliptique, une notion fondamentale pour répondre à ces questions est le critère de courbure dimension de Bakry-Emery.
Dans le cas dégénéré non elliptique, la notion de courbure est une question délicate
et les approches ci-dessus sont plus difficiles.

En géométrie riemannienne, les principaux couplages utilisés sont le couplage
synchrone (ou par transport parallèle) pour des en distance de Wasserstein et le couplage miroir pour des estimées pour la distance en variation totale entre les lois des processus ainsi que sur le gradient du semi-groupe

Dans un cadre sous elliptique, Banerjee, Gordiana et Mariano ont construit un couplage avec succès efficace (non co-adapté) sur le groupe de Heisenberg. Dans un travail récent, nous avons proposé une construction (non co-adaptée) mais plus simple en ne travaillant qu'à un temps fixé T.

Dans un autre travail récent nous nous sommes égalemnet inétéressés au mouvement Brownien cinétique dans le plan et nous avons obtenu
des estimées précises du gradient du semi-groupe. La méthode utilisée présente des similarités avec ce qui précède sauf qu'il n' a été possible que de travailler de manière infinitésimale et correspond donc à du calcul de Malliavin.

Un premier axe important du sujet de thèse sera d'étudier la régularisation pour des exemples explicites plus généraux du mouvement brownien cinétique en commençant par le cas de R^n ,
des sphères et des espaces hyperboliques avant d'aborder ensuite si possible le cas général.
A noter qu il existe des résultats de convergence en temps long dans le cas compact par Baudoin -Tardiff.

Un autre axe du sujet de thèse consiste à essayer d'étendre ses nouvelles idées pour les couplages ou pour le calcul Malliavin pour des processus de type Fokker Planck cinétiques plus classiques.