Thèse Méthodes d'Interpolation de Maillage pour les Simulations Numériques Paramétrées H/F

Doctorat_Gouv

Établissement : Institut Polytechnique de Paris École polytechnique
École doctorale : Mathématiques Hadamard
Laboratoire de recherche : CMAP - Centre de Mathématiques appliquées
Direction de la thèse : Olivier LE MAÎTRE ORCID 0000000238117787
Début de la thèse : 2026-10-01
Date limite de candidature : 2026-04-01T23:59:59

Ce projet de thèse porte sur le développement de méthodes d'interpolation de maillage pour les simulations numériques paramétrées, afin de réduire le coût de calcul lié aux nombreuses évaluations d'un même modèle pour différentes conditions physiques. Ces simulations interviennent notamment dans les processus de conception, d'optimisation et de quantification des incertitudes. Lorsque la solution présente des structures fines et localisées, l'adaptation de maillage permet de concentrer la résolution dans les zones importantes et ainsi de contrôler l'erreur tout en limitant le coût de calcul. Cependant, recalculer un maillage adapté pour chaque configuration paramétrique peut s'avérer très coûteux.

Les approches classiques consistent soit à utiliser un maillage adapté à une configuration de référence, soit à construire un maillage moyen adapté à plusieurs conditions. Toutefois, ces stratégies deviennent inefficaces lorsque les structures de la solution varient fortement ou se déplacent dans le domaine. Une approche plus récente consiste à constituer une bibliothèque de maillages adaptés correspondant à différentes configurations, puis à sélectionner le maillage le plus approprié pour une nouvelle condition. Afin d'améliorer cette stratégie, des travaux récents ont introduit une méthode d'interpolation de maillages basée sur le transport optimal, permettant de générer un maillage intermédiaire mieux adapté aux nouvelles conditions.

L'objectif de la thèse est de consolider et d'étendre cette approche en développant des méthodes numériques plus efficaces et en renforçant ses fondements théoriques. Les travaux s'articuleront autour de trois axes principaux : la reconstruction du maillage à partir de représentations interpolées, la détermination optimale des poids d'interpolation afin de minimiser l'erreur de simulation, et la construction efficace d'une bibliothèque de maillages permettant de contrôler le compromis entre précision et coût de calcul.
À terme, ces travaux visent à proposer des stratégies robustes pour accélérer les simulations paramétrées à grande échelle, avec des applications directes en simulation numérique avancée, notamment en mécanique des fluides et dans l'analyse d'incertitudes.

De nombreuses applications en simulation numérique nécessitent d'évaluer un même modèle pour de nombreuses configurations paramétriques, par exemple dans les études de conception, d'optimisation ou de quantification d'incertitudes. Lorsque les solutions présentent des structures fines et localisées, les méthodes d'adaptation de maillage permettent de contrôler l'erreur tout en limitant le coût de calcul. Toutefois, dans les simulations paramétrées, les zones de raffinement peuvent se déplacer selon les conditions physiques, ce qui rend coûteuse la reconstruction d'un maillage adapté pour chaque configuration. Des approches récentes proposent d'utiliser des bibliothèques de maillages et des méthodes d'interpolation, notamment basées sur le transport optimal, afin de générer efficacement des maillages adaptés à de nouvelles conditions. Ces méthodes constituent un axe de recherche prometteur pour accélérer les simulations paramétrées tout en maintenant un contrôle rigoureux de la précision numérique.

Ce projet de thèse vise à développer des méthodes d'interpolation de maillages adaptés pour les simulations numériques dépendant de paramètres. Dans de nombreux domaines, un même modèle doit être évalué pour de nombreuses configurations physiques différentes, ce qui peut entraîner des coûts de calcul importants. L'adaptation de maillage permet de contrôler l'erreur numérique en concentrant la résolution dans les zones où la solution présente des structures fines, mais recalculer un maillage pour chaque configuration reste coûteux.

L'objectif du projet est donc de générer efficacement des maillages adaptés pour de nouvelles conditions à partir d'une bibliothèque de maillages existants. Les travaux porteront sur trois axes principaux : la reconstruction de maillages interpolés, la détermination de poids d'interpolation optimaux afin de minimiser l'erreur de simulation, et la construction efficace d'une bibliothèque de maillages permettant de trouver un compromis entre précision et coût de calcul. À terme, ces méthodes doivent permettre d'accélérer les simulations paramétrées tout en conservant un contrôle rigoureux de la précision.

La méthode envisagée repose sur la construction d'une bibliothèque de maillages adaptés correspondant à différentes configurations paramétriques du problème étudié. Pour une nouvelle condition de simulation, plutôt que de recalculer un maillage adapté complet, l'idée est de générer un maillage intermédiaire par interpolation entre plusieurs maillages de la bibliothèque.

Cette interpolation s'appuie sur des outils issus du transport optimal, permettant de représenter les maillages sous forme de nuages de points et de construire une interpolation cohérente entre différentes structures de raffinement. Une étape de reconstruction de maillage est ensuite nécessaire afin d'obtenir un maillage admissible utilisable dans la simulation numérique.

Les travaux porteront également sur la détermination des poids d'interpolation permettant de combiner les maillages de la bibliothèque de manière optimale pour une nouvelle configuration paramétrique. Enfin, des stratégies séquentielles seront étudiées afin de construire efficacement la bibliothèque de maillages, en sélectionnant progressivement les configurations les plus informatives pour contrôler l'erreur de simulation tout en limitant le coût de calcul.