Thèse Méthodes Hybrides d'Apprentissage Automatique Scientifique et Décomposition de Domaine pour la Résolution d'Équations aux Dérivées Partielles H/F

Université Paris-Saclay GS Sciences de l'ingénierie et des systèmes

Établissement : Université Paris-Saclay GS Sciences de l'ingénierie et des systèmes
École doctorale : Interfaces : matériaux, systèmes, usages
Laboratoire de recherche : Mathématiques et Informatique pour la Complexité et les Systèmes - EA 4037
Direction de la thèse : Frédéric MAGOULÈS ORCID 0000000211987539
Début de la thèse : 2026-10-01
Date limite de candidature : 2026-03-22T23:59:59

Cette thèse s'inscrit dans le domaine de l'apprentissage automatique scientifique (Scientific Machine
Learning, SciML), à l'interface entre l'analyse numérique, le calcul scientifique et l'intelligence
artificielle. Elle vise à développer un cadre méthodologique unifié pour la résolution efficace
d'équations aux dérivées partielles (EDP), en combinant les méthodes numériques classiques, les
approches d'apprentissage profond et les réseaux de neurones sur graphes (GNN).
Les méthodes traditionnelles, telles que les éléments finis et la décomposition de domaine,
reposent sur des fondements mathématiques solides. Les GNN offrent quant à eux une représentation
naturelle des maillages et des partitions de domaine sous forme de graphes, permettant
une propagation locale de l'information par des mécanismes de message passing. Toutefois, ces
approches restent sensibles à la profondeur des réseaux, aux phénomènes de sur-lissage (oversmoothing) et à la stabilité de l'entraînement.

L'objectif est d'exploiter les biais inductifs issus de l'analyse numérique et des méthodes de décomposition de domaine, et d'intégrer des architectures GNN avancées incorporant des techniques
récentes d'amélioration du message passing (mécanismes d'attention, connexions résiduelles, normalisation adaptative, stratégies multi-échelles) afin d'améliorer la stabilité, la convergence et
l'interprétabilité des modèles neuronaux pour les EDP.

Les réseaux de neurones sur graphes constituent une avancée majeure pour la modélisation de
systèmes discrets structurés, notamment les maillages numériques. Les développements récents
en message passing neural networks, incluant les mécanismes d'attention et les stratégies multiéchelles, offrent de nouvelles perspectives pour le calcul scientifique. Leur intégration avec les
méthodes classiques de décomposition de domaine représente un enjeu scientifique important
pour la conception d'algorithmes parallèles, stables et mathématiquement justifiés.

- Concevoir des architectures hybrides combinant décomposition de domaine et réseaux de
neurones sur graphes.
- Intégrer des techniques avancées de message passing (attention, connexions résiduelles,
normalisation, multi-échelle).
- Améliorer la stabilité et la convergence des approches neuronales pour les EDP.
- Fournir une analyse théorique des méthodes proposées.
- Développer et valider numériquement des algorithmes pour des EDP linéaires et non
linéaires.

La méthodologie comprendra :
- une analyse bibliographique approfondie en SciML, GNN et décomposition de domaine ;
- la conception d'architectures GNN adaptées aux maillages éléments finis ;
- l'intégration de mécanismes avancés de message passing ;
- des expérimentations sur des EDP de référence ;
- une analyse théorique des propriétés de stabilité et de convergence.